Том 38, номер 10, статья № 4

Аннотация:

Эргодические теоремы имеют важное значение при сопоставлении результатов измерений с выводами теории. Для получения «статистического ансамбля» требуется множество опытов в аналогичных условиях, что практически не представляется возможным. Поэтому средние значения вынуждено определяются по данным измерений одного опыта. Для этого используется осреднение эмпирических данных по некоторому интервалу времени или области пространства. На вопрос, насколько такие эмпирические средние близки вероятностным средним, отвечают так называемые теоремы эргодичности. Для стационарных процессов такая теорема была доказана Дж. Тейлором в 1922 г. В настоящей работе доказана эргодическая теорема для нестационарных случайных процессов. Доказательство подтверждает представления О. Рейнольдса (1894 г.), согласно которым интервал временного осреднения должен быть велик по сравнению с характерными периодами пульсационного поля, но мал по сравнению с периодами осредненного поля. Показано, что для умеренных длин реализаций нестационарную турбулентность можно считать локально стационарной (локально однородной). Установлена причина «эволюции уровня» – явления дрейфа или ухода среднего значения, которое заключается в зависимости средних значений гидродинамических полей от длины интервала осреднения и значительно затрудняет определение эмпирических средних значений. Указана приближенная мера для количественных оценок эволюции уровня; показано, что существует такое время осреднения, при котором влияние этого явления минимально. Полученные результаты важны для исследований турбулентности в атмосфере, в которой все гидродинамические элементы нестационарны и имеют выраженный суточный и годовой ход.

Ключевые слова:

эргодическая теорема, нестационарный процесс, эволюция уровня, уход среднего значения, турбулентность, Тейлор, Рейнольдс

Список литературы:

1. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Т. 1. М.: Наука, 1965. 639 с.; Т. 2. М.: Наука, 1967. 720 с.
2. Reynolds O. On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion // Phill. Trans. Roy. Soc. London. 1894. V. 186. P. 123–161.
3. Taylor G.I. Diffusion by continuous movements // Proc. London Math. Soc. 1922. V. s2-20, iss. 1. P. 196–212.
4. Slutsky Е. Sur les fonctions aleatoires presque periodiques et sur la decomposition des fonctions aleatoires stationnaires en composantes // Actual. Sci. Industr. 1938. N 38. P. 33–55.
5. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М.: Наука, 1967. 548 с.
6. Гурвич А.С., Кон А.И., Миронов В.Л., Хмелевцов С.С. Лазерное излучение в турбулентной атмосфере. М.: Наука, 1976. 277 с.
7. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть I. Случайные процессы. М.: Наука, 1976. 496 с.
8. Nosov V.V., Lukin V.P., Nosov E.V., Torgaev A.V. Discrete-uninterrupted averaging in Taylor ergodic theorem // Proc. SPIE. 2006. V. 6160. P. 616034-1–15. DOI: 10.1117/12.675919.
9. Nosov V.V., Lukin V.P., Nosov E.V., Torgaev A.V. Temporal correlation of temperature fluctuations in a stratified atmosphere // Proc. SPIE. 2022. V. 12341 1M [12341-269]. DOI: 10.1117/12.2645089.